Precalcolo Esempi

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Passaggio 1

$\frac{5}{2}$ e $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Passaggio 2

Per scrivere $6 i$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Passaggio 3

$6 i$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Passaggio 5

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 6

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 7

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{2}{3}$ e $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 8

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.2

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Passaggio 8.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Passaggio 8.7

Per scrivere $\frac{289}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Passaggio 8.8

Per scrivere $\frac{4}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 8.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Moltiplica $\frac{289}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 8.9.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 8.9.3

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Passaggio 8.9.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Passaggio 8.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Passaggio 8.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.1

Moltiplica $289$ per $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Passaggio 8.11.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Passaggio 8.11.3

Somma $2601$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Passaggio 8.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ come $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Passaggio 8.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.13.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Passaggio 8.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Passaggio 10

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Passaggio 11

Sostituisci i valori di $θ = 1.49252518$ e $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$