Precalcolo Esempi

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Passaggio 1

$\frac{1}{2}$ e $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Passaggio 5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.4

Dividi $4$ per $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Passaggio 5.3.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = 1$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Passaggio 7

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{π}{6}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$