Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Passaggio 1

Trova il quoziente delle funzioni.

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Passaggio 1.1

Sostituisci gli identificatori della funzione con le funzioni effettive in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ per $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Passaggio 1.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ per $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{x - 2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Passaggio 1.2.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ come $x - 2$ .

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Passaggio 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Passaggio 1.2.4.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ per $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Passaggio 2

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 2 \geq 0$

Passaggio 3

Aggiungi $2$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 2$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 3, 3, 2$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Passaggio 7