Precalcolo Esempi

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Passaggio 1

Utilizza la definizione di seno per trovare i lati noti del triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ognuno dei valori.

$\sin (w) = \frac{opposto}{ipotenusa}$

Passaggio 2

Trova il lato adiacente del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che l'ipotenusa e il lato opposto sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

$Adiacente = \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {opposto}^{2}}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

$Adiacente = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica l'interno del radicale.

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Passaggio 4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

Adiacente $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adiacente $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adiacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Adiacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

Adiacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

Adiacente $= \sqrt{4 - 3}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

Adiacente $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

Adiacente $= \sqrt{4 - 3}$

Passaggio 4.4

Sottrai $3$ da $4$ .

Adiacente $= \sqrt{1}$

Passaggio 4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

Adiacente $= 1$

Passaggio 5

Utilizza la definizione di seno per trovare il valore di $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{opposto}{ipotenusa}$

Passaggio 6

Sostituisci con i valori noti.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7

Espandi $\sin (\frac{w}{2})$ in $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la formula di bisezione per il seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 7.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Passaggio 8

Utilizza la definizione di $c o s$ per trovare il valore di $\cos (w)$ . In questo caso, $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori in $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Passaggio 10.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 10.4

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 10.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Passaggio 10.6

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$