Precalcolo Esempi

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

Passaggio 1

Utilizza la definizione di coseno per trovare i lati noti del triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ognuno dei valori.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{adiacente}{ipotenusa}$

Passaggio 2

Trova il lato opposto del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che il lato adiacente e l'ipotenusa sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

$Opposto = \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {adiacente}^{2}}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

$Opposto = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica l'interno del radicale.

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Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Opposto $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $v$ .

Opposto $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Passaggio 4.2.2

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $v$ .

Opposto $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

Opposto $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ per $1$ .

Opposto $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 5

Utilizza la definizione di seno per trovare il valore di $\sin (\frac{5 π}{8})$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{opposto}{ipotenusa}$

Passaggio 6

Sostituisci con i valori noti.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Dividi $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ per $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.3

Riscrivi $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

Passaggio 7.6

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ per $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 7.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

Passaggio 7.9

Riscrivi $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ .

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Passaggio 7.9.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

Passaggio 7.9.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 7.9.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

Passaggio 7.10

Estrai i termini dal radicale.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

Passaggio 7.11

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

Passaggio 8

Calcola $\sin (\frac{5 π}{16})$ .

$0.83146961$

Passaggio 9

Sostituisci i valori in $0.83146961$ .

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$