Precalcolo Esempi

$(3, - 2)$ , $(- 2, 3)$

Passaggio 1

Il diametro di un cerchio è un segmento di linea retta che attraversa il centro del cerchio e i cui estremi si trovano sulla circonferenza del cerchio. Gli estremi dati del diametro sono $(3, - 2)$ e $(- 2, 3)$ . Il punto centrale del cerchio è il centro del diametro, che è il punto medio tra $(3, - 2)$ e $(- 2, 3)$ . In questo caso, il punto medio è $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 1.1

Utilizza la formula del punto medio per trovare il punto medio del segmento lineare.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Passaggio 1.2

Sostituisci con i valori per $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{3 - 2}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Passaggio 1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Passaggio 1.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Passaggio 2

Trova il raggio $r$ del cerchio. Il raggio è un qualsiasi segmento lineare dal centro del cerchio a qualsiasi punto della sua circonferenza. In questo caso, $r$ è la distanza tra $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ e $(3, - 2)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$r = \sqrt{{(3 - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{6 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.11.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 4 - 1}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.11.2

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.3.13.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.13.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 2.3.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.14.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 2.3.14.2

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 2.3.14.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Passaggio 2.3.14.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}}$

Passaggio 2.3.14.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{\frac{25 + 25}{4}}$

Passaggio 2.3.14.6

Somma $25$ e $25$ .

$r = \sqrt{\frac{50}{4}}$

Passaggio 2.3.15

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

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Passaggio 2.3.15.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (25)}{4}}$

Passaggio 2.3.15.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.15.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \sqrt{\frac{25}{2}}$

Passaggio 2.3.16

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.17.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.17.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.19.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.19.5

Somma $1$ e $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.3.19.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.3.19.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.19.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.19.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.19.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.19.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.19.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.19.6.5

Calcola l'esponente.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ è la forma di equazione di un cerchio con raggio $r$ e $(h, k)$ come punto di centro. In questo caso $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ e il punto di centro è $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . L'equazione del cerchio è ${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 4

L'equazione del cerchio è ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

Passaggio 5