Precalcolo Esempi

$\frac{3 x - 1}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} (x^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 1.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{3 x - 1}{x^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 x - 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 x - 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.7.2

Dividi $3 x - 1$ per $1$ .

$3 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $A ((x + 1) (x - 1))$ per $1$ .

$3 x - 1 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$3 x - 1 = A (x^{2} - 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.6

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{B (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.7.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 1) (x - 1))$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{x (B ((x (x + 1)) (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{x (B ((x (x + 1)) (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{x (B ((x (x + 1)) (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{x (B ((x (x + 1)) (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + \frac{B ((x (x + 1)) (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.7.2.5

Dividi $B ((x (x + 1)) (x - 1))$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B ((x (x + 1)) (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.10

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B ((x^{2} + x) (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.11

Espandi $(x^{2} + x) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{2} (x - 1) + x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.12.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.12.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.2

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} + 0 - x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.12.3

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B (x^{3} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.13

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.15

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.15.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + \frac{C (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.15.2

Dividi $(C) (x^{2} (x - 1))$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + (C) (x^{2} (x - 1)) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.16

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.17

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.17.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.17.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.17.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.17.2

Somma $2$ e $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{3} + x^{2} \cdot - 1) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.18

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{3} - 1 \cdot x^{2}) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.19

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C (x^{3} - x^{2}) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.20

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} + C (- x^{2}) + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.21

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + \frac{(D) (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.22

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.22.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + \frac{D (x^{2} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.8.22.2

Dividi $(D) (x^{2} (x + 1))$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + (D) (x^{2} (x + 1))$

Passaggio 1.8.23

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D (x^{2} x + x^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.8.24

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.24.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.24.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D (x^{2} x + x^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.8.24.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.8.24.2

Somma $2$ e $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D (x^{3} + x^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.8.25

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D (x^{3} + x^{2})$

Passaggio 1.8.26

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - B x + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Sposta $B$ .

$3 x - 1 = A x^{2} - A + B x^{3} - x B + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.9.2

Sposta $- A$ .

$3 x - 1 = A x^{2} + B x^{3} - x B + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - A$

Passaggio 1.9.3

Sposta $- x B$ .

$3 x - 1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - x B - A$

Passaggio 1.9.4

Sposta $- C x^{2}$ .

$3 x - 1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - x B - A$

Passaggio 1.9.5

Sposta $A x^{2}$ .

$3 x - 1 = B x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + A x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - x B - A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C + D$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = - 1 B$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$3 = - 1 B$

$- 1 = - 1 A$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$3 = - 1 B$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $B$ in $3 = - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 B = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 B = 3$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.1.2.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

$B = \frac{3}{- 1}$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$B = - 3$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

$B = - 3$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

$B = - 3$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

$B = - 3$

$0 = B + C + D$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C + D$ con $- 3$ .

$0 = (- 3) + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = - 1$ .

$- 1 A = - 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 3.2.4.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = A - 1 C + D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 1 C + D$ con $1$ .

$0 = (1) - 1 C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$0 = 1 - C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = 1 - C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$0 = 1 - C + D$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

Passaggio 3.4

Risolvi per $D$ in $0 = 1 - C + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 - C + D = 0$ .

$1 - C + D = 0$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $D$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- C + D = - 1$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 3 + C + D$

$B = - 3$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $- 1 + C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $0 = - 3 + C + D$ con $- 1 + C$ .

$0 = - 3 + C - 1 + C$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $0 = - 3 + C - 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 3 + C - 1 + C$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$0 = - 3 + C - 1 + C$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica $- 3 + C - 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$0 = C - 4 + C$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$0 = 2 C - 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$0 = 2 C - 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$0 = 2 C - 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$0 = 2 C - 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$0 = 2 C - 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6

Risolvi per $C$ in $0 = 2 C - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $2 C - 4 = 0$ .

$2 C - 4 = 0$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = 4$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 4$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{4}{2}$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{4}{2}$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{4}{2}$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$C = \frac{4}{2}$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$C = \frac{4}{2}$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$C = 2$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$C = 2$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$C = 2$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

$C = 2$

$D = - 1 + C$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $D = - 1 + C$ con $2$ .

$D = - 1 + 2$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $D = - 1 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$D = - 1 + 2$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

$D = - 1 + 2$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$D = 1$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

$D = 1$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

$D = 1$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

$D = 1$

$C = 2$

$A = 1$

$B = - 3$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$D = 1, C = 2, A = 1, B = - 3$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$