Precalcolo Esempi

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = - 4$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 1.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.4.3.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 1.4.3.3

Dividi $4$ per $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 1.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - 5)$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 3$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - 5)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 3$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - 5)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 3$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} - 17}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 17}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 17}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} - 17}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 17}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $17$ da $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 18}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$f (- 1) = \frac{2 (- 9)}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = \frac{- 9}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{9}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- 9 - 1}{2}$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Sottrai $1$ da $- 9$ .

$f (- 1) = \frac{- 10}{2}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Dividi $- 10$ per $2$ .

$f (- 1) = - 5$

Passaggio 2.2.6

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 17}{4} + \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 17}{4} + \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 17}{4} + \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.3

Sottrai $17$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 17}{4} + \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{17}{4} + \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (0) = - \frac{17}{4} + 0$

Passaggio 2.5.5

Somma $- \frac{17}{4}$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.5.6

La risposta finale è $- \frac{17}{4}$ .

$- \frac{17}{4}$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- \frac{17}{4}$ .

$y = - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 17}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 17}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 - 17}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.3

Sottrai $17$ da $- 9$ .

$f (3) = \frac{- 26}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Elimina il fattore comune di $- 26$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 26$ .

$f (3) = \frac{2 (- 13)}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{- 13}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (3) = - \frac{13}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{- 13 + 3}{2}$

Passaggio 2.8.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.1

Somma $- 13$ e $3$ .

$f (3) = \frac{- 10}{2}$

Passaggio 2.8.5.2.2

Dividi $- 10$ per $2$ .

$f (3) = - 5$

Passaggio 2.8.6

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} - 17}{4} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 17}{4} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 - 17}{4} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.11.3

Sottrai $17$ da $- 4$ .

$f (2) = \frac{- 21}{4} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = - \frac{21}{4} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.11.4.2

Dividi $2$ per $2$ .

$f (2) = - \frac{21}{4} + 1$

Passaggio 2.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (2) = - \frac{21}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.11.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{- 21 + 4}{4}$

Passaggio 2.11.5.3

Somma $- 21$ e $4$ .

$f (2) = \frac{- 17}{4}$

Passaggio 2.11.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.11.6

La risposta finale è $- \frac{17}{4}$ .

$- \frac{17}{4}$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- \frac{17}{4}$ .

$y = - \frac{17}{4}$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - \frac{17}{4} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{17}{4} \\ 3 & - 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - 5)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - \frac{17}{4} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{17}{4} \\ 3 & - 5 \end{array}$

Passaggio 4