Precalcolo Esempi

$y = {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$y = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = (x + 1) (x + 1)$

Passaggio 2.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = x^{2} + x + x + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$y = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Supponi che $y = x^{2}$ sia $f (x) = x^{2}$ e $y = {(x + 1)}^{2}$ sia $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 4

La trasformazione descritta è da $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 5

Trova la forma del vertice di $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

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Passaggio 5.1

Completa il quadrato per $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Passaggio 5.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 1$

Passaggio 5.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 5.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.1.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 1 - 1$

Passaggio 5.1.4.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$e = 0$

Passaggio 5.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + 1)}^{2} + 0$ .

${(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 5.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 6

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$g (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$g (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $1$ unità a sinistra

Passaggio 7

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$g (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

In questo caso, $k = 0$ , che significa che il grafico non è spostato verso l'alto o il basso.

Traslazione verticale: no

Passaggio 8

Il grafico è riflesso sull'asse x quando $g (x) = - f (x)$ .

Riflessione sull'asse x: nessuna

Passaggio 9

Il grafico è riflesso sull'asse y quando $g (x) = f (- x)$ .

Riflessione sull'asse y: nessuna

Passaggio 10

Compressione e allungamento dipendono dal valore di $a$ .

Quando $a$ è maggiore di $1$ : in dilatazione verticale

Quando $a$ rientra nell'intervallo $0$ - $1$ : in compressione verticale

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 11

Confronta ed elenca le trasformazioni.

Funzione base: $y = x^{2}$

Traslazione orizzontale: $1$ unità a sinistra

Traslazione verticale: no

Riflessione sull'asse x: nessuna

Riflessione sull'asse y: nessuna

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 12