Precalcolo Esempi

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Passaggio 1.4

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Passaggio 1.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Dividi la frazione $\frac{x - 8}{x + 7}$ in due frazioni.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi la frazione $\frac{x - 10}{x + 8}$ in due frazioni.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$

Passaggio 1.5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$

Passaggio 1.5.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.5.2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.5.2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5.2.5

Il fattore di $x + 7$ è $x + 7$ stesso.

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.5.2.6

Il fattore di $x + 8$ è $x + 8$ stesso.

$(x + 8) = x + 8$

$(x + 8)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.5.2.7

Il minimo comune multiplo di $x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 7) (x + 8)$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica per $(x + 7) (x + 8)$ ciascun termine in $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ per $(x + 7) (x + 8)$ .

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x + 8) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.4

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 \cdot x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 8 x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 8 x - 8 (x + 8) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.1.7

Moltiplica $- 8$ per $8$ .

$x^{2} + 8 x - 8 x - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 8 x - 8 x - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Sottrai $8 x$ da $8 x$ .

$x^{2} + 0 - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.1

Scomponi $x + 8$ da $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 64 = x (x + 7) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.4

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 \cdot x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Passaggio 1.5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.5.1

Scomponi $x + 8$ da $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Passaggio 1.5.3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Passaggio 1.5.3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 (x + 7)$

Passaggio 1.5.3.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 10 \cdot 7$

Passaggio 1.5.3.3.1.7

Moltiplica $- 10$ per $7$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 70$

Passaggio 1.5.3.3.2

Sottrai $10 x$ da $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Passaggio 1.5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Passaggio 1.5.4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Passaggio 1.5.4.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Somma $- 3 x - 70$ e $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Passaggio 1.5.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Somma $70$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 64 + 70$

Passaggio 1.5.4.3.2

Somma $- 64$ e $70$ .

$- 3 x = 6$

Passaggio 1.5.4.4

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = 6$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Passaggio 1.5.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Passaggio 1.5.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.3.1

Dividi $6$ per $- 3$ .

$x = - 2$

Passaggio 1.6

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 2

L'equazione non è lineare, quindi non esiste un coefficiente angolare costante.

Non è lineare