Precalcolo Esempi

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Passaggio 1

Scrivi ciascuna equazione del piano in forma standard.

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Passaggio 1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Passaggio 1.2.2

$\frac{1}{f}$ e $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Passaggio 2

Per determinare l'intersezione di una linea passante per il punto $(p, q, r)$ e perpendicolare al piano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e al piano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano $P_{1}$ e del piano $P_{2}$ , dove i vettori normali sono $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano $P_{2}$ in modo tale che $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per $t$ .

4. Utilizzando il valore di $t$ , risolvi le equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ per $t$ per trovare l'intersezione $(x, y, z)$ .

Passaggio 3

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

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Passaggio 3.1

$P_{1}$ è $2 f = - 1$ . Calcola il vettore normale $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione piana della forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Passaggio 3.2

$P_{2}$ è $\frac{9}{f} = 4$ . Calcola il vettore normale $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione piana della forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Passaggio 3.3

Calcola il prodotto scalare di $n_{1}$ e $n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori $x$ , $y$ e $z$ nei vettori normali.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4

Semplifica il prodotto scalare.

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Passaggio 3.4.1

Rimuovi le parentesi.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 3.4.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 3.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 3.4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4

Il prodotto scalare è $0$ ; quindi, i piani sono perpendicolari.

Non c'è nessuna intersezione.