Precalcolo Esempi

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Passaggio 1

Sottrai $\sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Passaggio 2

Secondo il teorema dei valori intermedi, se $f$ è una funzione continua a valore reale sull'intervallo $[a, b]$ e $u$ è un numero tra $f (a)$ e $f (b)$ , allora esiste un punto $c$ contenuto nell'intervallo $[a, b]$ tale che $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Calcola $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{2}{9}$ e $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Passaggio 5

Calcola $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Passaggio 5.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 5.3

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $9$ da $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Passaggio 5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Passaggio 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $\frac{2}{9}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi $\frac{2}{9}$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Passaggio 6.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Passaggio 6.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Calcola $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Passaggio 6.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Passaggio 6.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Passaggio 6.7.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Passaggio 6.7.3

Sottrai $0.22409309$ da $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Passaggio 6.8

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Secondo il teorema dei valori intermedi, esiste una radice $f (c) = 0$ sull'intervallo $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ perché $f$ è una funzione continua su $[0, \frac{π}{2}]$ .

Le radici dell'intervallo $[0, \frac{π}{2}]$ si trovano con .

Passaggio 8