Precalcolo Esempi

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{2}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di $a_{1} = \frac{1}{2}$ e $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $\frac{1}{2}$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

Passaggio 4.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}$

Passaggio 4.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Passaggio 5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.5

$- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.7.2

Sottrai $16$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 10.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 11

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $2$ da $\frac{15}{16} \cdot 2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{15}{16}$