Precalcolo Esempi

$4$ , $\frac{16}{5}$ , $\frac{64}{25}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{4}{5}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{4}{5}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di $a_{1} = 4$ e $r = \frac{4}{5}$ .

$a_{n} = 4 {(\frac{4}{5})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$a_{n} = 4 \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5

Moltiplica $4 \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$4$ e $\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{4 \cdot 4^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $4^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $4$ per $4^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = \frac{4^{1} \cdot 4^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = \frac{4^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = \frac{4^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{4^{n}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 6

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{3}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{{(\frac{4}{5})}^{3} - 1}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{4^{3}}{5^{3}} - 1}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64}{5^{3}} - 1}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64}{125} - 1}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{125}{125}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64}{125} - 1 \cdot \frac{125}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.5

$- 1$ e $\frac{125}{125}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64}{125} + \frac{- 1 \cdot 125}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64 - 1 \cdot 125}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{64 - 125}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.7.2

Sottrai $125$ da $64$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{- 61}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Passaggio 9.2

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{4 - 5}{5}}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{\frac{- 1}{5}}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{- \frac{61}{125}}{- \frac{1}{5}}$

Passaggio 10

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{\frac{61}{125}}{\frac{1}{5}}$

Passaggio 11

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{3} = 4 \cdot (\frac{61}{125} \cdot 5)$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$S_{3} = 4 \cdot (\frac{61}{5 (25)} \cdot 5)$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$S_{3} = 4 \cdot (\frac{61}{5 \cdot 25} \cdot 5)$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{3} = 4 \cdot \frac{61}{25}$

Passaggio 13

Moltiplica $4 (\frac{61}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$4$ e $\frac{61}{25}$ .

$S_{3} = \frac{4 \cdot 61}{25}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $4$ per $61$ .

$S_{3} = \frac{244}{25}$