Precalcolo Esempi

$\frac{1}{5} \cdot (5 \ln (x + 9) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Passaggio 1

Semplifica $5 \ln (x + 9)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{5} \cdot (\ln ({(x + 9)}^{5}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}) - \ln (x^{2} - 9))$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}}{x^{2} - 9})$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9})$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3^{2}})$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3)})$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5} \cdot 1}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Passaggio 6.2

Moltiplica ${(x + 9)}^{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Passaggio 7

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})}^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3))}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 8.3

Applica la regola del prodotto a $x (x + 3)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Passaggio 9.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 9.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{1}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$\ln (\frac{x + 9}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$