Precalcolo Esempi

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $n^{n}$ come $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (n^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $n$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $n!$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.2

Espandi $8!$ in $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $8$ per $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $56$ per $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $336$ per $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $1680$ per $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $6720$ per $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $20160$ per $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $40320$ per $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $8 \cdot \ln (8)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Passaggio 5.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $40320$ e $16777216$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $128$ da $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $128$ da $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{315}{131072}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{315}{131072}$

Forma decimale:

$0.00240325 \dots$