Precalcolo Esempi

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $\frac{1}{x^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5

Riscrivi $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.2.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.4

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.5

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.5.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.2.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.6.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.6.2

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 1.5.2.6.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.6.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.7

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.8

Sottrai $x h$ da $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.9

Somma $- x h$ e $2 h x$ .

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Passaggio 1.5.2.9.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.9.2

Somma $- 1 h x$ e $2 h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 1.5.2.10

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2 x + h$ per $1$ .

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ .

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$