Precalcolo Esempi

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(1 - t^{2})}^{2}$ come $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ .

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Espandi $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- t^{2}$ per $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $t^{4}$ per $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sottrai $t^{2}$ da $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $2 t$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${(1 + t^{2})}^{2}$ come $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Passaggio 5

Espandi $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Passaggio 6.2

Somma $t^{2}$ e $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Passaggio 8

Somma $- 2 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Passaggio 9

Somma $t^{4}$ e $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Passaggio 10

Somma $2 t^{2}$ e $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Passaggio 11

Riscrivi $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ .

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Passaggio 11.1.1

Scomponi $2$ da $2 t^{4}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Passaggio 11.1.2

Scomponi $2$ da $4 t^{2}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Passaggio 11.1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 11.1.4

Scomponi $2$ da $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 11.1.5

Scomponi $2$ da $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Passaggio 11.2

Riscrivi $t^{4}$ come ${(t^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Passaggio 11.3

Sia $u = t^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $t^{2}$ con $u$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Passaggio 11.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 11.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Passaggio 11.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 11.4.3

Riscrivi il polinomio.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 11.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 11.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12

Riscrivi $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ come ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 12.1

Riordina $2$ e ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Passaggio 12.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Passaggio 13

Estrai i termini dal radicale.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Passaggio 14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$