Precalcolo Esempi

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Passaggio 4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.2

Combina.

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Passaggio 7

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Passaggio 8

Semplifica cancellando.

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Passaggio 11.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 11.3

Semplifica.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1

Eleva $2 + \sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 12.2

Eleva $2 + \sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

Passaggio 12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

Passaggio 13

Riscrivi ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ come $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 14

Espandi $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 15

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 15.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 15.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Passaggio 15.1.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Passaggio 15.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Passaggio 15.2

Somma $4$ e $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 15.3

Somma $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $6 + 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

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Passaggio 16.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 16.2

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 16.3

Scomponi $2$ da $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 16.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 16.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Passaggio 16.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 16.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Passaggio 16.4.4

Dividi $3 + 2 \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$- 2.41421356 \dots$