Precalcolo Esempi

$\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$

Passaggio 1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Passaggio 2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{(\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Passaggio 3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} \cdot \frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ per $\frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{(1 + x) (1 + x)}}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Eleva $1 + x$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} (1 + x)}}$

Passaggio 5.2

Eleva $1 + x$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} {(1 + x)}^{1}}}$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1 + 1}}}$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}$ come ${(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Scomponi la potenza perfetta ${(1 + x)}^{2}$ su ${(1 + x)}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}$

Passaggio 7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{1 + x} \sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$

Passaggio 8

$\frac{1}{1 + x}$ e $\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}}{1 + x}$