Precalcolo Esempi

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 2.4

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7

Trova il dominio di $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 2.7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 2.7.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 2.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2} \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 0.8$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (0.25)}{1 - 2 \cdot 0.25} \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3} \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 1.2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ in modo che sia maggiore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \geq - 1$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ come ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 1$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.2

$- 1$ e $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.2.4.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \geq 0$

Passaggio 4.3.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 4.3.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 4.3.7

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.3.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.9

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4.2.3

Imposta $1 - 2 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1

Imposta $1 - 2 x$ uguale a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 4.4.2.3.2

Risolvi $1 - 2 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 4.4.2.3.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.4.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Passaggio 4.4.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.4.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 4.4.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Passaggio 4.4.2.6.2.3

Il lato sinistro di $0.25$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 4.4.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 4.4.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 30$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 4.4.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 4.4.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.3

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 4.4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 4.4.4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 4.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \frac{1}{2})$

Passaggio 4.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 4.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \geq - 1$

Passaggio 4.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 4.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.12$

Passaggio 4.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.12$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \geq - 1$

Passaggio 4.6.2.3

Il lato sinistro di $0.56195148$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 4.6.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.38$

Passaggio 4.6.3.2

Sostituisci $x$ con $0.38$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \geq - 1$

Passaggio 4.6.3.3

Il lato sinistro di $1.77951304$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 4.6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 4.6.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \geq - 1$

Passaggio 4.6.4.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 4.6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 4.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ o $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$

Passaggio 4.8

Combina gli intervalli.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta l'argomento in $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ in modo che sia minore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \leq 1$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ come ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1^{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \leq 0$

Passaggio 6.3.2

Semplifica $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.2

$- 1$ e $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.2.4.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \leq 0$

Passaggio 6.3.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 6.3.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 6.3.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 6.3.7

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.9

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4.2.3

Imposta $1 - 2 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Imposta $1 - 2 x$ uguale a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 6.4.2.3.2

Risolvi $1 - 2 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 6.4.2.3.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.4.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Passaggio 6.4.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.4.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 6.4.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Passaggio 6.4.2.6.2.3

Il lato sinistro di $0.25$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.4.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 6.4.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Passaggio 6.4.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 30$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.4.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 6.4.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.3

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 6.4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 6.4.4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \frac{1}{2})$

Passaggio 6.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \leq 1$

Passaggio 6.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 6.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.12$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.12$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \leq 1$

Passaggio 6.6.2.3

Il lato sinistro di $0.56195148$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.38$

Passaggio 6.6.3.2

Sostituisci $x$ con $0.38$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \leq 1$

Passaggio 6.6.3.3

Il lato sinistro di $1.77951304$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 6.6.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \leq 1$

Passaggio 6.6.4.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 6.6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 6.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - 2 x = 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 8.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \frac{1}{4}]$

Notazione intensiva:

${x | 0 \leq x \leq \frac{1}{4}}$

Passaggio 10