Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$ è indefinita.

$x = 4$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 (x) - 4}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $1$ più $- 12$ .

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{x - 4}$

Passaggio 6.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 6.1.2.2

Dividi $3 x + 1$ per $1$ .

$3 x + 1$

Passaggio 6.2

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 3 x + 1$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 3 x + 1$

Passaggio 8