Precalcolo Esempi

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = x^{4}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{4}$ con $u$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $256$ come $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Passaggio 3.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 6

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 9

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 10

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 12

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Poni $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 12.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 12.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 12.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 12.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 12.2.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 12.2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 12.2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 12.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 12.2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 12.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 13

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 14

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 14.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$