Precalcolo Esempi

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{3}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{3}{x^{2}}$ per $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.5.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.3.1

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.4

Sottrai $h$ da $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.4.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- 3 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 5