Precalcolo Esempi

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Passaggio 1

Dividi per $\sec (\frac{θ}{2})$ ciascun termine in $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\sec (\frac{θ}{2})$ ciascun termine in $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (\frac{θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\sec (\frac{θ}{2})$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Passaggio 1.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Eleva $\cos (\frac{θ}{2})$ alla potenza di $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\cos (\frac{θ}{2})$ alla potenza di $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Passaggio 1.3.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione come $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per $θ$ in $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Passaggio 7.3

Poni il numeratore uguale a zero.

$θ = 0$

Passaggio 7.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Passaggio 7.5

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Passaggio 7.5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Passaggio 7.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Passaggio 7.5.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = 4 π$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 7.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\cos (\frac{θ}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $θ$ in $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Passaggio 8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Passaggio 8.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = 2 π$

Passaggio 8.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Passaggio 8.6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Passaggio 8.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Passaggio 8.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = 2 (2 π - π)$

Passaggio 8.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.2.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ = 2 π$

Passaggio 8.7

Trova il periodo di $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.7.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 8.7.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\cos (\frac{θ}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le risposte.

$θ = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$