Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi $32$ da $64 x - 32$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $32$ da $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2.2

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2.3

Scomponi $32$ da $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

Passaggio 4

Scomponi.

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Passaggio 4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e la cui somma è $b = - 13$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $- 13$ come $- 1$ più $- 12$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

Passaggio 4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

Passaggio 4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

Passaggio 4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Passaggio 5

Scomponi $2 x - 1$ da $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $2 x - 1$ da $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x - 1$ da $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 x - 1$ da $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

Passaggio 7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

Passaggio 7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

Passaggio 7.2

Somma $2$ e $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

Passaggio 8

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 10.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 10.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 10.1.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 10.1.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 10.1.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 10.1.1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Passaggio 10.1.1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Passaggio 10.1.1.3.5

Sottrai $24$ da $- 8$ .

$- 32 + 32$

Passaggio 10.1.1.3.6

Somma $- 32$ e $32$ .

$0$

Passaggio 10.1.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Passaggio 10.1.1.5

Dividi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ per $x + 2$ .

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Passaggio 10.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 10.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Passaggio 10.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 10.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 10.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 10.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 10.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 10.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Passaggio 10.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 10.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 10.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 10.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Passaggio 10.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Passaggio 10.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 10.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

Passaggio 10.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 10.1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Passaggio 10.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 10.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Passaggio 10.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$