Precalcolo Esempi

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Espandi $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $\sin (x)$ da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.2.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\sin (x)$ e $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.4

Combina.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 8.6

Moltiplica $1 + \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 9

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Passaggio 10

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Passaggio 10.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 12

Somma le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Per scrivere $\frac{1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 14

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ è un'identità