Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 3, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Passaggio 5.3.3

Somma $144$ e $25$ .

$\sqrt{169}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$13$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(9, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 15, 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(10, 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 16, 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Passaggio 8.3.3

Somma $144$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{13}{12}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{5^{2}}{13}$

Passaggio 9.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{13}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{5}{12}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $5$ e $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{12}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.4.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Passaggio 12.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Passaggio 12.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 12.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $- 5$ e $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 3, 2)$

Vertici: $(9, 2), (- 15, 2)$

Fuochi: $(10, 2), (- 16, 2)$

Eccentricità: $\frac{13}{12}$

Asse focale: $\frac{25}{13}$

Asintoti: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Passaggio 15