Precalcolo Esempi

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x + 2}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x + 2}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $x + 2$ per $1$ .

$x + 2 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 2 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 1)$ per $1$ .

$x + 2 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 2 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$x + 2 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x + 2 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 1.7.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.8.1

Sposta $B$ .

$x + 2 = A x + A + 2 x B + B$

Passaggio 1.8.2

Sposta $A$ .

$x + 2 = A x + 2 x B + A + B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + 2 B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + 2 B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$2 = A + B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - 2 B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $1 - 2 B$ .

$2 = (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $- 2 B$ e $B$ .

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $2 = 1 - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 - B = 2$ .

$1 - B = 2$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 2 - 1$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - 2 B$ con $- 1$ .

$A = 1 - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 1$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 3, B = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{3}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$