Precalcolo Esempi

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 2)) = \log_{2} (x + 6)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 2 x) = \log_{2} (x + 6)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Passaggio 3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$ vera.

$x = 2$