Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 \log_{3} (x - 1) - 3$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 3$ è indefinita.

$x = 1$

Passaggio 1.2

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.3

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.4

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.5

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 \log_{3} ((2) - 1) - 3$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 2 \log_{3} (1) - 3$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (2) = 0 - 3$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f (2) = - 3$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 2.3

Converti $- 3$ in decimale.

$y = - 3$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 2 \log_{3} ((4) - 1) - 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (4) = 2 \log_{3} (3) - 3$

Passaggio 3.2.1.2

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (4) = 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (4) = 2 - 3$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f (4) = - 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 3.3

Converti $- 1$ in decimale.

$y = - 1$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = 2 \log_{3} ((10) - 1) - 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (10) = 2 \log_{3} (9) - 3$

Passaggio 4.2.1.2

Il logaritmo in base $3$ di $9$ è $2$ .

$f (10) = 2 \cdot 2 - 3$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (10) = 4 - 3$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (10) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 1$ e i punti $(2, - 3), (4, - 1), (10, 1)$ .

Asintoto verticale: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 3 \\ 4 & - 1 \\ 10 & 1 \end{array}$

Passaggio 6