Precalcolo Esempi

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

Passaggio 1

Scrivi $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ come un'equazione.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $t$ dei due punti.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ a $f (1)$ e $f (- 3)$ , sostituendo $t$ nella funzione con il valore $t$ corrispondente.

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ per $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ .

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $1^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di ${(- 3)}^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ nel numeratore.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi ${(- 3)}^{2} + 3$ da $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.2

Somma $9$ e $3$ .

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.4

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $12$ per $- 3$ .

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.9

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.10

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.11

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.12

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.13

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.14

Moltiplica $4 (- 5 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.14.1

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.14.2

Moltiplica $4$ per $10$ .

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.15

Somma $- 72$ e $40$ .

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.4

Somma $9$ e $3$ .

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $4 \cdot 12 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $48$ per $1$ .

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.7

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.8

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.9

Somma $9$ e $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.10

Moltiplica $4 \cdot 12 (- (- 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.1

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

Passaggio 3.5.10.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.10.3

Moltiplica $48$ per $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 144}$

Passaggio 3.5.11

Somma $48$ e $144$ .

$\frac{- 32}{192}$

Passaggio 3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{192}$

Passaggio 3.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Scomponi $32$ da $192$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Passaggio 3.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{6}$

Passaggio 3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6}$