Precalcolo Esempi

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 1

Scrivi $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ come funzione.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = r + h$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $r$ con $r + h$ nell'espressione.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Passaggio 3.1.2

La risposta finale è $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Passaggio 3.2

Trova i componenti della definizione.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica.

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Passaggio 5.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.5

Sottrai $4 π r^{3}$ da $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.6

Somma $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.7

Scomponi $4 π h$ da $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ .

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Passaggio 5.1.2.7.1

Scomponi $4 π h$ da $12 π r^{2} h$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.7.2

Scomponi $4 π h$ da $12 π r h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.7.3

Scomponi $4 π h$ da $4 π h^{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.7.4

Scomponi $4 π h$ da $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.2.7.5

Scomponi $4 π h$ da $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Passaggio 5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3

Combina.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Passaggio 6