Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ come un'equazione.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\sqrt[5]{y + 7}$ per $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{y + 7}$ come ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Passaggio 3.5

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ è l'inverso di $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ come $x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x + 7}$ come ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.1.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x + 7$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 7 - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $7$ da $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Passaggio 5.3.3

Somma $- 7$ e $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Passaggio 5.3.4

Somma $\frac{x^{5}}{3125}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $3125$ come $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ come ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ è l'inverso di $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$