Precalcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ come un'equazione.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ .

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Passaggio 3.2

Semplifica ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Passaggio 3.2.2.2

$\frac{1}{7}$ e $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Passaggio 3.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Passaggio 3.5

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{7}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.1.1.2

Semplifica.

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3125 x$ .

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2.1.1.2

Riscrivi $3125$ come $5^{5}$ .

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 3.6.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Passaggio 5.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Passaggio 5.2.4.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Passaggio 5.2.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Passaggio 5.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $78125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $78125 x^{\frac{7}{5}}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $78125$ come $5^{7}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.5

Calcola l'esponente.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividi $x^{\frac{1}{5}}$ per $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$