Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ come un'equazione.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ come ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Semplifica.

$9 y - 81 = x^{3}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y = x^{3} + 81$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = x^{3} + 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = x^{3} + 81$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $81$ per $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ come $9 (x - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ come ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.1.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.3

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.4

Scomponi $9$ da $9 x - 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.4.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.4.2

Scomponi $9$ da $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.1.4.3

Scomponi $9$ da $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x - 9$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 9 + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\frac{x^{3}}{9}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Passaggio 5.3.4

$9$ e $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Passaggio 5.3.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riduci l'espressione $\frac{9 x^{3}}{9}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Passaggio 5.3.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Passaggio 5.3.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$