Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $5$ da $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Scomponi $5$ da $- 5 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi $5$ da $- 25 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $5$ da $- 30$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Passaggio 2.1.5.4

Scomponi $5$ da $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Passaggio 2.1.5.5

Scomponi $5$ da $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $- x^{3} - 5 x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.6.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.6.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 2.1.6.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.6.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 2.1.6.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 2.1.6.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 2.1.6.1.3.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Passaggio 2.1.6.1.3.5

Somma $1$ e $5$ .

$6 - 6$

Passaggio 2.1.6.1.3.6

Sottrai $6$ da $6$ .

$0$

Passaggio 2.1.6.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Passaggio 2.1.6.1.5

Dividi $- x^{3} - 5 x - 6$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.1.6.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.6.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.6.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.6.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.1.6.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Passaggio 2.1.6.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 6$

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.6.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Passaggio 2.1.6.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + x - 6$

Passaggio 2.1.6.1.6

Scrivi $- x^{3} - 5 x - 6$ come insieme di fattori.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x + 1$ da $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 2.1.9.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.9.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.12

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Passaggio 2.1.13

Semplifica.

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Passaggio 2.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Passaggio 2.1.13.2

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Passaggio 2.1.14

Sottrai $5 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Passaggio 2.1.15

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Riscrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.15.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Passaggio 2.1.15.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Passaggio 2.1.15.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (5)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 6$ (Molteplicità di $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 6$ (Molteplicità di $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 3