Matematica discreta Esempi

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x - i y}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{2}{x - i y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ per $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{2}{x - i y}$ per $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{(x - i y) {(1 - i)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${(1 + i)}^{2}$ come $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.2

Espandi $(1 + i) (1 + i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 (1 + i) + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{(1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{(1 + i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $i i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i^{1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + i + i + i^{1 + 1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{2}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(1 + i + i - 1) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{(0 + i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.3

Somma $0$ e $i$ .

$\frac{(i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.3.4

Somma $i$ e $i$ .

$\frac{2 i (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 i x + 2 i (- i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $2 i (- i y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 i x - 2 i (i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.5.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.5.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 i x - 2 i^{1 + 1} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 i x - 2 i^{2} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{2 i x - 2 \cdot - 1 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.7

Riscrivi ${(1 - i)}^{2}$ come $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 ((1 - i) (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.8

Espandi $(1 - i) (1 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 (1 - i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.2

Moltiplica $- i$ per $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4

Moltiplica $- i (- i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1}))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{1 + 1})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.4.6

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - 1)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (0 - i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.3

Sottrai $i$ da $0$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.9.4

Sottrai $i$ da $- i$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 i x + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.11

Scomponi $2$ da $2 i x + 2 y - 4 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Scomponi $2$ da $2 i x$ .

$\frac{2 (i x) + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.11.2

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.11.3

Scomponi $2$ da $- 4 i$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.11.4

Scomponi $2$ da $2 (i x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (i x + y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Passaggio 5.11.5

Scomponi $2$ da $2 (i x + y) + 2 (- 2 i)$ .

$\frac{2 (i x + y - 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$