Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Passaggio 1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Passaggio 2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 | x | = - x^{2}$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 | x | = - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 | x | = - x^{2}$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $| x |$ per $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{3}$ nel numeratore.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x = - x^{2}$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x + x^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Scomponi $u$ da $3 u + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Scomponi $u$ da $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2.2.2

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Passaggio 6.4.2.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Passaggio 6.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Passaggio 6.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Passaggio 6.4.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4.5

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

Passaggio 6.4.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 + x) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 6.5

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 6.6

Moltiplica ogni lato per $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x = x^{2}$

Passaggio 6.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x - x^{2} = 0$

Passaggio 6.8.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Passaggio 6.8.2.2

Scomponi $u$ da $3 u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Scomponi $u$ da $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Passaggio 6.8.2.2.2

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Passaggio 6.8.2.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Passaggio 6.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Passaggio 6.8.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Passaggio 6.8.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.8.5

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.5.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 6.8.5.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 6.8.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.8.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.8.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.8.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.5.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 6.8.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 6.9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 0, - 3, 3$

Passaggio 7

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 18$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $10$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $6$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Vero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 < x < 0$ o $0 < x < 3$ o $x > 3$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 15