Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 - 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Riordina $10$ e $- 6 x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 6 x^{2} + 10}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1.1.2.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + \infty}$

Passaggio 1.1.3.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $12 x$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.3.8.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1.3.9

Somma $0$ e $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{3 e^{x}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 (e^{x})}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{e^{x}}$

Passaggio 2

Sposta il termine $- 4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$- 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{x}}$ tende a $0$ .

$- 4 \cdot 0$

Passaggio 5

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0$