Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

Passaggio 2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Calcola $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 7.1.2

Calcola $2 x$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 7.1.3

Semplifica.

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Passaggio 7.1.3.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 7.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 7.1.3.3

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

Passaggio 7.1.3.5

Somma $2 π$ e $2 π$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.2.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.2.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ corrisponde approssimativamente a $3.7320508$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.2.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.26794919$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.3

Per scrivere $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.4

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Forma decimale:

$1.55487441 \dots$