Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sqrt{x^{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2$ .

$2$