Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Somma $\sec^{2} (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (- \sin (x) - \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Passaggio 5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$(- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Passaggio 10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Passaggio 11.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 12.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.4.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 12.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 12.7.5

Calcola l'esponente.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Passaggio 12.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Passaggio 12.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.9.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 12.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.10

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$- 0.70710678 \dots$