Calcolo Esempi

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (2 θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin^{2} (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{1 - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.8

Riordina i fattori di $4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.11

Calcola $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \sin^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 1.3.11.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Passaggio 1.3.11.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Passaggio 1.3.11.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Passaggio 1.3.11.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))}$

Passaggio 1.3.11.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 1.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.12.1

Sottrai $2 \sin (θ) \cos (θ)$ da $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 1.3.12.2

Riordina i fattori di $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{\cos (π) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 \frac{- \cos (0) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.2.7.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 \frac{0}{- 0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.1.3.6.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.6.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \cos (2 θ)$ e $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.4

Eleva $\cos (2 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.5

Eleva $\cos (2 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{{\cos (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.12.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.13

Eleva $\sin (2 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.14

Eleva $\sin (2 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.17

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.19

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.20

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.21

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \cos (θ) \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]}$

Passaggio 3.3.22

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.23

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.24

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.25

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.26

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.27

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Passaggio 3.3.28

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \sin (θ))}$

Passaggio 3.3.29

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 3.3.30

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}$

Passaggio 3.3.31

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})}$

Passaggio 3.3.32

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))}$

Passaggio 3.3.33

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) - - 1 \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 3.3.33.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + 1 \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 3.3.33.2.2

Moltiplica $\sin^{2} (θ)$ per $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 3.3.33.3

Riordina $- \cos^{2} (θ)$ e $\sin^{2} (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 3.3.33.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sin (θ)$ e $b = \cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Passaggio 3.3.33.5

Espandi $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Passaggio 3.3.33.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Passaggio 3.3.33.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.6

Combina i termini opposti in $\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.6.1

Riordina i fattori nei termini di $\sin (θ) (- \cos (θ))$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.6.2

Somma $- \cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + 0 + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.6.3

Somma $\sin (θ) \sin (θ)$ e $0$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.7.1

Moltiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.7.1.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.1.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.3

Moltiplica $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.33.7.3.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.3.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Passaggio 3.3.33.7.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.33.7.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.4

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (2 θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.8

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (2 θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.12

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 4.14

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 4.15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2 \cos^{2} (π) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 \frac{2 {(- \cos (0))}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (π)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (0)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.9

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0^{2}}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.11

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$2 \frac{2 + 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.1.12

Somma $2$ e $0$ .

$2 \frac{2}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$2 \frac{2}{1^{2} - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{2}{1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 6.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \frac{2}{1 + 0}$

Passaggio 6.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$2 (\frac{2}{1})$

Passaggio 6.3

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$