Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{12 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 lim_{x \to - 1} x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{12 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{- 12 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 12 + 12 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.1.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Somma $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - (2 x)}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $36$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{36 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $24$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Passaggio 2.8

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1$ e $4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $- 2$ da $36 {(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $- 2$ da $24 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $- 2$ da $4 {(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $- 2$ da $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Passaggio 4.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Passaggio 4.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 18 \cdot 1 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$\frac{- 18 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$\frac{- 18 + 12}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 18$ e $12$ .

$\frac{- 6}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 6}{- 2 \cdot - 1 - 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{- 6}{2 - 1}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{- 6}{1}$

Passaggio 4.4

Dividi $- 6$ per $1$ .

$- 6$