Calcolo Esempi

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Passaggio 1

Riscrivi $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ come $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.4.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.5

Sottrai $\cos (θ)$ da $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{- 2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 3.1.3.7

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1

Riordina i fattori di $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.2

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.5

$- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 3.1.3.8.7

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Passaggio 3.1.3.8.8

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Passaggio 3.1.3.8.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.10

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ nel numeratore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.10.2

Scomponi $\cos^{2} (θ)$ da $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.10.3

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.10.4

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.11

$- 2$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.3.8.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Passaggio 3.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 3.1.5.3

$\cos (θ)$ e $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 3.1.6

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Passaggio 3.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $\sin^{3} (θ)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Passaggio 3.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Passaggio 3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Passaggio 5.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Passaggio 5.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.4

Calcola $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.4.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.5

Sottrai $\cos (θ)$ da $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{- 2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Passaggio 5.1.3.7

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.8.1

Riordina i fattori di $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.2

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.5

$- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Passaggio 5.1.3.8.7

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Passaggio 5.1.3.8.8

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Passaggio 5.1.3.8.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.10

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.8.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ nel numeratore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.10.2

Scomponi $\cos^{2} (θ)$ da $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.10.3

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.10.4

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.11

$- 2$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.3.8.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Passaggio 5.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 5.1.5.3

$\cos (θ)$ e $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Passaggio 5.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $\sin^{3} (θ)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Passaggio 5.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Passaggio 5.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6

Poiché il limite sinistro è uguale al limite destro, il limite è uguale a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$