Calcolo Esempi

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in $0$ e scrivilo come una somma di limiti.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Calcola $\arctan (x)$ per $0$ e per $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Passaggio 7

Calcola $\arctan (x)$ per $t$ e per $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Passaggio 8

Calcola i limiti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $\arctan (0)$ che è costante, mentre $t$ tende a $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Passaggio 8.3

Il limite per $t$ tendente a $- \infty$ è $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Passaggio 8.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Passaggio 8.5

Il limite per $t$ tendente a $\infty$ è $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Passaggio 8.6

Calcola il limite di $\arctan (0)$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Passaggio 8.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Passaggio 8.7.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Passaggio 8.7.1.3

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Passaggio 8.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 8.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π}{2}$

Passaggio 8.7.3

Somma $π$ e $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$π$

Forma decimale:

$3.14159265 \dots$