Calcolo Esempi

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - \frac{x}{3}$ . Allora $d u = - \frac{1}{3} d x$ , quindi $- 3 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi $6$ per $3$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 5.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 7

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $2^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ per $- 2$ e per $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Passaggio 12.2

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $6$ e per $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.3

Riscrivi $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ come un prodotto.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.6

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.7

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.8

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.8.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 12.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 12.3.10

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 12.3.11

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

Passaggio 12.3.12

Somma $18$ e $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

Passaggio 12.3.13

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

Passaggio 12.3.14

$- 18$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

Passaggio 12.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Passaggio 13.2

$- 15$ e $\frac{1}{4 \ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 15$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Passaggio 13.3.2

$15$ e $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Passaggio 13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Forma decimale:

$12.63031921 \dots$

Passaggio 15