Calcolo Esempi

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $6$ come $4$ più $2$ .

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{4 + 2}$ come $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 2

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 4

Espandi $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(1 + u^{2})}^{2}$ come $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.8

Sposta $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.9

Riordina $u^{3}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.10

Riordina $u^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.11

Riordina $u^{3}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 4.12

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.13

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.14

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.16

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.17

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.19

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Passaggio 4.21

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 4.22

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Passaggio 4.23

Somma $5$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 4.24

Somma $u^{5}$ e $u^{5}$ .

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 4.25

Riordina $2 u^{5}$ e $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

Passaggio 4.26

Sposta $u^{3}$ .

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$