Calcolo Esempi

$P (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{9} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{4}{9}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{4}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{9} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Passaggio 1.3.4

$- 3$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Passaggio 1.3.6

$\frac{- 12}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Passaggio 1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Passaggio 1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Passaggio 1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{4}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{3}}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$P'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$P'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{4}{9}$ .

$P'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$P'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.5

$\frac{12}{9}$ e $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x^{2}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

Passaggio 2.3.4

$- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

Passaggio 2.3.6

$\frac{- 8}{3}$ e $x$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{9} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{4}{9}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- \frac{4}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{9} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Passaggio 4.1.3.4

$- 3$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Passaggio 4.1.3.6

$\frac{- 12}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Passaggio 4.1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Passaggio 4.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Passaggio 4.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Passaggio 4.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $P (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $9$ ciascun termine in $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ per $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 x^{2}}{3}$ nel numeratore.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0$ per $9$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Passaggio 5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{3}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $0$ per $3$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$P' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$P' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$P' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Per scrivere $- \frac{16}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Passaggio 10.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

Passaggio 10.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.5.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$P' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

Passaggio 10.2.2.5.2

Sottrai $48$ da $- 32$ .

$P' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

Passaggio 10.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P' (- 2) = - \frac{80}{9}$

Passaggio 10.2.2.7

La risposta finale è $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$P' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$P' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$P' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $3$ .

$P' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Passaggio 10.3.2.2

Per scrivere $- \frac{16}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 10.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Passaggio 10.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

Passaggio 10.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.5.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$P' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

Passaggio 10.3.2.5.2

Sottrai $48$ da $32$ .

$P' (2) = \frac{- 16}{9}$

Passaggio 10.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P' (2) = - \frac{16}{9}$

Passaggio 10.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$P' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$P' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $216$ .

$P' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Dividi $864$ per $9$ .

$P' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$P' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Moltiplica $4$ per $36$ .

$P' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

Passaggio 10.4.2.1.6

Dividi $144$ per $3$ .

$P' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

Passaggio 10.4.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$P' (6) = 96 - 48$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $48$ da $96$ .

$P' (6) = 48$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un minimo locale.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11